教学内容

教学要求

学时

第一章 函数与极限

18

映射与函数

在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调性、周期性和有界性）的了解。
理解复合函数的概念，了解反函数的概念。会建立简单实际问题中的函数关系式。

数列的极限和函数的极限

理解极限的概念，了解极限的e-N, e-d 定义(不要求学生做给出e求N或d的习题)。

了解极限的性质（唯一性、有界性、保号性）。

无穷小与无穷大

了解无穷小、无穷大的概念。

极限运算法则

掌握极限的有理运算法则(会用变量代换求某些简单复合函数的极限只要求作简单训练)。

极限存在准则

两个重要极限

了解夹逼准则与单调有界准则，会用两个重要极限。

无穷小的比较

了解高阶无穷小和等价无穷小的概念。会用等价无穷小求极限。

函数的连续性与间断点

理解函数在一点连续和在一区间上连续的概念。

了解函数间断点的概念，会判别间断点的类型。

连续函数的运算

初等函数的连续性

了解初等函数的连续性。

闭区间上连续函数的性质

了解闭区间上连续函数的介值定理与最大值、最小值定理。

第二章 导数与微分

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导数概念

理解导数的概念及其几何意义（不要求学生做利用导数的定义研究抽象函数可导性的习题），了解函数的可导性与连续性之间的关系。了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。

函数的求导法则

 掌握导数的有理运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式。

高阶导数

了解高阶导数的概念，掌握初等函数一阶、二阶导数的求法（不要求学生求函数的n阶导数的一般表达式）。

隐函数及参数方程求导

会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶导数(这两类函数中比较简单的二阶导数只要求作简单训练)，*会解一些简单实际问题中的相关变化率问题。

函数的微分

理解微分的概念，了解微分概念中所包含的局部线性化思想，了解微分的有理运算法则和一阶微分形式不变性。

第三章 微分中定理与导数的应用

12

微分中值定理

理解罗尔（Rolle）定理和拉格朗日（Lagrange）定理，了解柯西（Cauchy）定理（对三个定理的分析证明不作要求，不要求学生掌握构造辅助函数证明相关问题的技巧）。

洛必达法则

会用洛必达（L'Hospital）法则求不定式的极限。

函数的单调性

曲线的凹凸性

掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点。

函数的极值

最大值最小值

理解函数的极值概念，掌握用导数求极值的方法。会求解较简单的最大值与最小值的应用问题。

*函数图形的描绘

会描绘一些简单函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。

第四章 不定积分

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不定积分的概念与性质

理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式。

换元积分法和分部积分法

掌握求不定积分的换元法与分部积分法（淡化特殊积分技巧的训练）。

有理函数的积分

对于求有理函数积分的一般方法不作要求，对于一些简单有理函数、*三角有理函数和无理函数的积分可作为两类积分法的例题作适当训练。

第五章 定积分

10

定积分的概念与性质

理解定积分的概念和几何意义（对于利用定积分定义求定积分与求极限不作要求），了解定积分的性质和积分中值定理。

微积分基本公式

理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿－莱布尼茨公式。

定积分的换元法

分部积分法

掌握求定积分的换元法与分部积分法。

反常积分

了解两类反常积分及其收敛性的概念。

第六章 定积分的应用

6

定积分的元素法

掌握科学技术问题中建立定积分表达式的元素法（微元法）。

定积分在几何学上的应用

会建立某些简单几何量的积分表达式。

*定积分在物理学上的应用

会建立某些简单物理量的积分表达式。

第七章 空间解析几何与向量代数

18

向量及其线性运算

理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。掌握向量的线性运算运算。

掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。

数量积，向量积

掌握向量的数量积和向量积，了解两个向量垂直、平行的条件。

平面及方程

掌握平面的方程及其求法。

空间直线及方程

掌握直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

曲面及方程

理解二次曲面方程的概念。
了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

了解常用二次曲面的方程及其图形。

空间曲线及方程

了解空间曲线方程的概念。了解空间曲线的参数方程和一般方程。了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

第八章  多元函数微分法及其应用

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多元函数的基本概念

理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。

了解二元函数的极限与连续性的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。

偏导数与全微分

理解二元函数偏导数与全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

复合函数的求导法则

掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）。

隐函数的求导公式

会求隐函数（*由两个方程构成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数、*二阶偏导数。

多元函数的几何应用

了解曲线的切线和法平面以及曲面的切平面与法线，并会求出它们的方程。

方向导数与梯度

了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

多元函数的极值及其求法

理解二元函数极值与条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些比较简单的最大值与最小值的应用问题。

第九章 重积分

12

二重积分的概念与性质

理解二重积分的概念，了解重积分的性质。

二重积分的计算

掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标）。

三重积分的概念与性质

了解三重积分的概念。

三重积分的计算

会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标，*球面坐标）。

第十章 曲线积分与曲面积分

14

两类曲线积分

理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及*两类曲线积分的关系，会计算两类曲线积分（对于空间曲线积分的计算只作简单训练）。

格林公式及其应用

掌握格林（Green）公式，会使用平面线积分与路径无关的条件，了解第二类平面线积分与路径无关的物理意义。

两类曲面积分

了解两类曲面积分的概念、计算方法及其*相互联系。

高斯公式和斯托克斯

通量、散度、旋度

了解高斯（Gauss）公式，*了解斯托克斯（Stokes）公式（斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求）。

*了解场的基本概念，*了解散度、旋度的概念和某些特殊场（无源场、无旋场与调和场），*会计算散度与旋度。 

重积分和*线面积分的应用

了解科学技术问题中建立重积分与曲线、曲面积分表达式的元素法（微元法），会建立某些简单的几何量和物理量的积分表达式。

第十一章 无穷级数

14

常数项级数的概念和性质

理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数的基本性质及收敛的必要条件。

常数项级数的审敛法

了解正项级数的比较审敛法以及几何级数与P-级数的敛散性，掌握正项级数的比值审敛法。

了解交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。

了解绝对收敛与条件收敛的概念及二者的关系。

幂级数

*了解函数项级数的收敛域与和函数的概念，掌握简单幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性不作要求）。

了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（对求幂级数的和函数只要求作简单训练）。

函数展开成幂级数

会利用e^x，sinx，cosx，1n(1+x)与(1-x)^-1的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数展开成幂级数。

*傅里叶级数

了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirichlet）条件，会将定义在(-p, p)和(-l, l)上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在(0,l)上的函数展开为傅里叶正弦或余弦级数。

第十二章 微分方程

12

微分方程的基本概念

了解微分方程、解、通解、初始条件和特解等概念。

可分离变量的微分方程

齐次方程

掌握变量可分离的方程的解法。

会解齐次方程，并从中领会用变量代换求解微分方程的的思想。

一阶线性微分方程

掌握一阶线性微分方程的解法。

可降阶的高阶微分方程

会用降阶法求下列三种类型的高阶方程： y⁽ⁿ⁾=f(x), y¢¢=f(x, y¢), y¢¢=f(y, y¢)。   

*高阶线性微分方程

理解二阶线性微分方程解的结构。

常系数齐次线性微分方程

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。

常系数非齐次线性微分方程

会求自由项形如p_n(x)e^ax, e^ax(Acosbx+Bsinbx)的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中p_n(x)为实系数n次多项式，a, b, A, B为实数。